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文章关键词:新萄京娱乐手机版,同调论

  N年前有一股网风,鄙视数学分析。大意是数学分析学得好没什么,只懂数学分析格局太小。流行高谈阔论,纵论分支,品评大师。自己一度也很数学自卑,我也只懂一点数学分析和复变函数,伽罗瓦群不懂,同调论只听过名词,群表示还是偶尔旁听到的,层论压根儿没听过。后来读研究生时修了基础泛函分析,总算有一门相对高深吓人的科目说得出口了。不过后来一些历史行程改变了自己的看法,数学分析也许没有层论高级,但关键在于人的运用。运用之妙并不在于高深,特别是对非数学系的人。

  这个是曾经国内最有名的奥数论坛,注册用户CMO金银牌一堆(扩军前),IMO国手若干。讨论热点三大块儿,高联,CMO和IMO。经常真题出来后,论坛上很多人说今年题简单,分数线将暴涨之类。但是,实际成绩下来后,分数线往往比预期低。我后来仔细跟踪,逐一看帖子才发现,说简单的人中相当一部分没有完整试做真题,更别说考虑临场心理压力因素。这是我第一次感受到数学题往往是看着简单。澳门新萄京赌场网址关于IMO国手有很多传说,有人说他们30分钟能做完高考数学卷,我是不大相信的。记得在奥数之家时就发现很多CMO金牌选手(扩军前)高联一试成绩不到120分,那时一试满分是150分。多年后,又特意在知乎上询问了一位擅长文笔写作的IMO金牌选手(貌似是那届国家队第一名):国家队队员做数学高考题真有半小时那么快吗?他认为不太可能。

  这是与国内著名繁星客栈齐名的论坛。但因为历史因素,主打数学分析和高等代数,因此被很多人看低。但其实对于大一大二新生来讲,在数分高代这块,国内没有其它地方可比之,很多老人在论坛留下不少精华帖子。每年考研季节,北大数分高代考研题(回忆版)是热门。但是,不得不说,最近几年隔壁出的题越来越水。如果你不能改变规则,那么就去适应规则,对于没有保送名校而考研的人,数分高代就是规则。其实,觉得数分高代low的人多是自己low,因为眼界只放在数分高代上。很多高深的领域,经常把问题化简到数分高代语言。比如数学大师Donaldson的对角化定理,断言通过拓扑方法在四维光滑流形上定义出正定矩阵等价于单位阵。Calabi-Yau猜想最后划归为讨论一个非线性PDE解的存在性。

  当年一次偶然机会,听到一位数学系大牛学长吐槽,说今年(当年)校外推研的学霸们水平堪忧啊。然后说,比如数分笔试中有一道题,证明矩形区域上格林公式成立,竟然有一半多人没做出来。我得知后大吃一惊,简单的利用累次积分即可证明。当年的T大数学系很奇葩,外招考研学生极少,基本都是内推加外推,能来T大面试推研的基本是各兄弟院校的数学系学霸。插一句,今年丘赛初赛分析题Q1考的是Lebesgue积分版本的微积分基本定理,据称入围面试的学霸中只有两个人做出来,这件事也很令人反思。有人觉得纯属偶然,做不出Q1不能说明学霸们功力不行,况且学霸们看过远比这难度大的东西,比如范畴论与层论。其实,当一些人说2016丘赛分析题简单,分数线将大涨时,我是很怀疑的。问题就出在Q1,我对NL非常有感情,它是我高中时代见到的第一个深刻数学公式(我初二就知道万有引力公式和质能方程,但认为这是物理公式),所以当初写《积木》时,在附录里单独开辟一篇文章专写Lebesgue积分版本的NL公式,结论也比Q1还要强,允许不可导点可以是可数零测集。但是,根据我看数学分析教材以及同数学系部分同学的接触的经验,我发现数学系根本就不重视NL公式,包括学霸们。所以,我觉得那么多人栽在Q1上并不是巧合。我想起古人那句话,天下事有难易乎?不为,则易者亦难矣。

  当年的T大数学系远不像今日这么强大,可以说与T大Top2身份不相称。当年数学系的师资力量挤进top3都悬,那时的IMO选手也很少来T大。不得不承认,当年就学生整体数学水平看,隔壁数学系有着绝对优势。但是,有一个矛盾很有趣。T大大基科的数分教材是卓里奇,比隔壁难一大截。当时,不光我这个外人奇怪,但凡对数学热爱的理工科生都很奇怪,数学系那边对外说法是用卓里奇没问题。当然,后来才知道物理系那边早就意见大了,数学系那边内部意见也有分歧。那时给我这个外人一种感觉,否定卓里奇相当于否定大基科,是zz不正确。后来,问了一个CMO金牌学弟(很奇怪他没去隔壁),他坦诚他看卓里奇很吃力。不过他补充说,看zxk那本高代黄皮书更吃力。如今,大基科早已经如很多外人预测那样解体,而卓里奇相当于催化剂。卓里奇,一本号称最适合物理系的数分教材却遭到物理系绝大多数师生的反对;一本在俄罗斯系列教材中写得算比较人性化的优秀教材,却成了N多人的噩梦。究竟是书的问题,还是用法不对呢()?留下太多悬念。

  我一直坚信,名校课程最精华的地方是考试题。虽然我身在T大,但因为不是数学系的,搞不到本科生数分考试题。实际上,我看隔壁的数分期中期末考试题比本校多。隔壁BBS数院版有贴考试题传统,当年。但是,T大数学系版没有这个传统。不过,我还是机缘巧合下搞到T大本科两套数分期末考试题,我看完感觉是马拉松风格。比如有的证明题4分(证明要写十几行),没错是证明题,不是填空题,绝对考察意志力。我看的那两套试题有附加题,难题所在。我感觉,T大本科数分考试题难度与卓里奇教材难度不太匹配。隔壁就不是马拉松了,数分一般是9-11道题,偶尔出现5分题。也就是该题满分5分,难度极大,用隔壁的说法是:5分题用来区分学霸和学神的。不过似乎只有lwg的数分卷有5分题,记不清了。注1:lwg的5分题例子。设f是全平面上的光滑函数,对任意正方形ABCD,有f(A)+f(C)=f(B)+f(D), 求f的表达式。(5分)

  我对比了北大本科数分题和研究生考试数分题,一般来说整体上后者更难,但5分题除外。至于北大本科数分题难度如何,假定期末卷十道题,扣除最难的两道题,其余8道题也就是谢惠民的《数学分析习题课讲义》水平,有的甚至是原题。扎扎实实把这8道题拿下,数分85分+可期。

  如今,我在网上看到部分人很bs谢惠民的书,觉得简单。根据上述推理,这些人都具备隔壁数学系数分85分水平,所以隔壁数分85分以下的都是XX。推理之后,我总觉得哪个地方不对劲儿。隔壁数院号称四大疯人院之首,而数学系每年都被爆料有新生学习数分困难,甚至XXXX。

  下图是T大数分3期末考试题,出题风格与T大以往风格很不像,估计是因为用了M.Stein的书?这位老师可是Zorich教材的崇拜者,但因为too young而去教用的科大数分教材的班级?据称这套卷制造了T大数学系数分3期末考试奇(can)观(an):

  注3:下图试题来自博士数学论坛,3小时内得分130+,可称top2本科级数学分析学霸水平。

  读研究生时修了基础泛函分析,借机重温数学分析。我在次肯定了很多人说数分low是自身low的问题。你也许懂de Rham,Hodge,甚至层论,概形这些高深知识,但你不彻查资料仍然不会证明:存在处处发散的Fourier级数,连续函数的Fourier级数几乎处处收敛,椭圆积分的非初等性等问题。当然,你可以说那些数分老大难问题out了,没有概形有用。谁知道呢?模形式,自守函数是庞加莱时代的东西,现在不照样是数学主流热门。数学里很多事情不可以预料,往往牵扯历史的行程。重温数分时,采取了科研探索式思维。比如假定我只知道洛必达法则,我猜测存在一个离散版本的洛必达法则(Stolz定理),那么它应该长什么样?受到连续函数的海涅定理启发,我想到在可导函数图像上取离散点列。接下来关键是怎么解释洛必达法则里导数比,将其离散化。我想到导数是差商取极限,然后灵感来了,柯西中值定理。于是,我得到了离散版本的洛必达法则,这种情形是Stolz定理特例。利用特例猜一般情况是科研探索中常用的方法。

  当年平板电脑没有普及,看书基本靠纸书。清华的图书馆单次可以借25本书,而数学书无疑是最好借的。同时独峰和水木书屋的二手书区常有精品,比如迪厄多内的数学科普书《当代数学:为了人类心智的荣耀》。其实当年清华里还有两家书店,一家在十食堂后边楼上,一家在照澜院里(新华书店),这两家后来关门大吉了。有一点我挺羡慕隔壁,出门就是海淀图书城。其实我看的书多,买的书更多,书虫通病。其实隔壁某超市下的野草书店等也是不错的,不知今日尚在否?人大周末书市也是一大景观,可惜后来似乎不在。南门外的万圣书院可惜少理工图书。

  不知何时有了写《积木》的初心,但可以说这是很大胆的想法。虽然,当时网上数分经验帖不少,但普遍缺乏技术细节,而且不系统。有了前面123的经历后,我坚信概念与技术是数分的核心,对例子的运用与定理证明同样重要。这也是《积木》这本书中例子特别多的原因。而且,随着看书数量的提升,我真正理解了为什么数学分析是数学系本科第一基础课,它与后面的复变,实变,泛函,ODE,PDE,微分几何,微分拓扑等联系太紧密了。虽然技术难度有差异,但在思想层面是相通的。同时受到《新讲》和卓里奇风格的影响,我决定挑选一些数分以外内容和方法,但能通过技术处理降维到数学分析平面的材料,加入《积木》。当然,写《积木》工作量比较浩大,整体架构和细节填充等,写书不易。在学校时,没有足够的决心写《积木》成书,只有一些零散的,看似没有联系的材料。后来,我在写积木时采取了类似“理论建立者视角”,我不追求结论的普适性,最一般性,而是假定我缺兵少将时你怎么猜,怎么证,怎么用。我称这种思维模式为重构,最典型的例子,假设我不知道Fourier级数,采用工科式思维的分离变量法解热传导方程,实际上发现了Fourier级数。《积木》写了13章,效法《孙子兵法》13章,其实积木写20章也行,不过没有必要了,这13章已经把我的积木说尽,最关键的是积木组合,方法可不仅仅是20种了,那只能靠读者自己去运用了。附录里挑了七个例子,因为我觉得正文很多技术细节没说细,必须通过相对完整的例子让读者感受到积木运用之妙。网上各类经验帖最大弊端是技术细节没说细说透,用现在线.《积木》向《新讲》致敬。

  一个略显悲哀却是事实的事情:《新讲》在数学系学霸间的认可度不高,远不及Rudin和卓里奇,更别提伪学霸了。实际上力挺《新讲》的大多是数学系中层阶级,属于学酥-学霸区间那些人。类似这种情况也发生在《微积分和数学分析引论》上,这本书与《新讲》神似,真正能学到数学思维的,尤其适合物理系和工科生。我当初作为一个工科生,自然选择站队《新讲》,Rudin这么高大上的数学系主流抽象思维stlye,还是留给学霸们吧。结果很励志,扎扎实实看《新讲》,看完再看卓里奇,也能学到些数学分析本事,过程相对流畅许多。实际上,只要你把新讲学得扎实,照样可以在数分战场上狙击Rudin学霸。写到这里不妨写点琐事,新讲的第一版排版很烂,我觉得80年代的排版都比这好。后来重新排版之后,勉强可以接受。无独有偶,线性代数教材也有一本名书(亚洲第一难)排版同样烂,一股油印排版感觉,当然科大再版后好多了。《新讲》大概是在90年年底成书,此后没有再版,后来隔壁张筑生老师西去,再版就没希望了。但是,我发现微积分不朽经典《微积分学教程》在作者西去后,仍然不断修订再版,原来是作者学生们的贡献---我朝真应该效仿之。在写《积木》时,已经明确向《新讲》致敬,我甚至认为积木是新讲的学生,一脉相承,至少在精神层面是。当然,积木里也写了一些广义数学分析范畴的知识,这多少受到卓里奇风格的影响。

  不论在学校时,还是离开学校,对数学教育和数学文化的关注是我的重点。这些微小的工作的数学技术含量没有arXiv那些抽象文章高,但对社会乃至国家的影响,绝对不比那些paper低。我整理高斯的文章,包括后来写《积木》都与这些初心有关。在清华,不少老师讲课确实很糟糕,与自身名气不相称。极少有老师能做到数学系周坚老师那样谈笑风生,举重若轻,高屋建瓴。看知乎上数学系帖子,似乎每个学校数学系都存在一位男神级别的老师,清华这边应该是周坚了(年轻一代教师中,LSQ有继承的潜力)。写到这里,不得不提及一件可惜的往事,T大第一助教之殇。第一助教不是自封,亦非校方钦定,乃是最广大的工科生们的选票。我一直认为,能写出一流的文章更多依仗天赋和自身实力,上课讲得好则更多是用心。不用心,学神讲课也枉然。隔壁老师中,其能力与张筑生老师齐名者众,然用心比肩者寡。我没听过前边助教的课,不好评议。但是,我是不太相信该助教仅仅因为对期末考试题出题套路熟悉而获得学生们追捧这种传言的。其他助教没有获得学生们的认可,更多需要在能力之外的地方反思。

  谈到数学文化,数学史和科普文章的翻译和写作是核心。可惜,我国这方面长期处于低层次水平,其中或多或少与bs链有关。比如,竟然有本科生大言不惭地断言看高斯文章out,黎曼文章无益。但是,我可以负责任地告诉大家:根据我的这些年经验,类似妄言多出自半吊子水平之人,不仅仅在数学领域。品评大师伟人的最起码前提是系统看过他们的文集,这是最起码的科研精神。实际上,越是水平高的人,品评大师时越是出言慎重。我曾给高教一位编辑建议翻译数学大师们的一些半科普文章成中文,我相信提出类似意见的不仅仅是我一个人。很高兴,最近几年高教的行动表明采纳了我们的建议。我也曾询问,高教为什么不大规模翻译国外研究生教材?得到的回复是:高教原则上不翻译本科水平以上教材。考虑到网上主流观点是“看原文”,英文的,法文的,俄文的,我也不好多说什么了。但是,我可以透露一件小事:清华本科生和研究生的英语整体水平比知乎上的英语水平低多了,不敢想象,沉默的大多数。

  在学校时偶然发现数学系自办了一个内部学生期刊《荷思》,隔壁的叫《心桥》,科大的叫《蛙鸣》,合起来很有画面感:一位数学系MM静静地站在池塘边的小桥上,望着满眼碧绿的荷叶,听取蛙声一片。这些期刊上很多都是学生作品,多数虽然naive,但却真诚。高手之路,菜鸟起步。那些嘲笑菜鸟,追捧某G的人真应该看看G与Serre那些交流信件(已经出版),看看G神问过哪些naive and low问题。G神绝对是从最底层走上神坛的典型代表,但是太多人忽视他未出名之时了。正如太多人追捧天才写的书,而不是去看天才看过哪些书。

  注4:顺便补充一下,哈代很早就证明了zeta函数在临界直线上有无穷多个零点。至于无穷多个平凡零点,黎曼当年就搞定了。Grothendieck与Serre信件往来精选(英文电子版)可以在这里下载:如今荷思似乎停刊了,有了解内情的学弟请回复下(后经确认未停刊),很可惜!也许,正如《数学译林》一样,对存在的价值感到迷茫。数学文化的建设任重道远!

  想不到这篇文章获得了近200个赞,再补充一些资料吧,目标群体:数学系中层阶级。

  1.教材为主。从我了解到的情况看,高手们看的基础教材都差不多,都是大家耳熟能详的,没什么秘密武器。比如数分基本是新讲,卓里奇,Rudin等。根据自身水平,找一本适合自己的教材,扎扎实实啃下来。

  2.考试题。不管P大争议如何,至少在本科数学领域依然是领头羊,所以P大的本科考试题是一块资源。到北大未名BBS数院版搜带附件帖子,可以找到P大几乎所有类型本科数学课程考试题,数分高代解几,复变实变泛函,ODEPDE等等。发帖者勤快的就排版成PDF文档,不那么勤快的就拍照成图片。

  3.网络课程。我上学那阵儿网络课堂不多,所以我主要利用“精品课程”,看一些课件,有的还有考试题(不是数学课程)。

  4.平板电脑。从短平快角度看,平板电脑看课件,看文献,看教材,太方便了,所以必须利用好。但是,对于数学这门课来讲,亲手动笔是不可少的。

  5.排版笔记。对你的笔记中最有价值的部分排版成电子文档是个好习惯,其实这已经是论文起步了,勿以事小而不为。

  6.几何直观的反思。在分析中抽象出几何直观也许是好事,但在代数这块则争议很大,至少知乎上的代数人士普遍持否定态度。我个人也懂一点微小的本科代数知识,也曾试图抽象出代数的几何直观,基本不成功。所以,本科生再学代数时不建议过度试图抽象出代数的几何直观,恐怕老师们都做不到。对待代数学习,更实用的办法是多用例子,通过例子体会代数。如果时间精力允许的话,追踪一下代数概念的历史行程有帮助理解代数概念。比如据我所知,抽象代数里很多概念来自数论和解代数方程。代数是我的弱项,建议也只能提到这里。

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